Die Friis-Gleichung und die effektive Fläche einer Antenne

Einführung

Die meisten Menschen, die mit Funkkommunikation zu tun haben, stellen sich vor, dass sich Wellen mit niedrigeren Frequenzen weiter ausbreiten als Wellen mit höheren Frequenzen. Ist diese Vorstellung zutreffend und wenn ja, was könnte der Grund dafür sein?

 

Um diese Frage zu beantworten, ist es hilfreich, zunächst die Ausbreitung im Freiraum und die Herleitung der Friis-Gleichung zu betrachten.

Freiraum-Modell

Im Artikel “Ausbreitung von Funkwellen” haben wir uns mit dem Freiraum-Modell befasst, das den Freiraum-Verlust mit der Entfernung (d) in Beziehung setzt:

 

Wie wir sehen werden, setzt die Berechnung der Eingangsleistung am Empfänger die Kenntnis der Wellenlänge (und damit der Frequenz) voraus. Bedeutet die inhärente Eigenschaft einer elektromagnetischen Welle also, dass sie einen Einfluss haben muss?

Die schnelle Antwort heißt “nein“.

Funkwellen sind elektromagnetische Wellen mit oszillierenden elektrischen und magnetischen Feldern. Bei gleicher Leistung legen alle Radiowellen unabhängig von der Frequenz die gleiche Strecke zurück. Wenn das so ist, warum erscheint dann die Wellenlänge in unserer Berechnung?

In diesem Artikel werden wir es herausfinden.

Was ist ein isotroper Strahler?

Ein isotroper Strahler hat ein Strahlungsdiagramm, das sich in einem bestimmten Abstand (d) von einer Punktquelle in alle Richtungen erstreckt. Gemäß Definition bildet dieses Strahlungsdiagramm eine Kugel mit einer Oberfläche (A), die sich mit dem Abstand (d) von der Quelle ändert. Wir können die Leistungsdichte (S) als die verfügbare Leistung pro Flächeneinheit definieren, die gleich der Eingangsleistung (P_T) geteilt durch die Fläche (A) ist.

Äquivalente isotrope Strahlungsleistung (EIRP)

Stellen wir uns nun vor, wir fügen eine Art Reflektor hinzu, der unser Strahlungsdiagramm in einen engen Strahl zwingt. Dadurch wird die Richtwirkung unserer Antenne um einen Betrag erhöht, der dem Antennengewinn (G_T) entspricht. Da die Leistungsdichte nur definiert ist, wenn das Strahlungsdiagramm eine Kugel ist, können wir uns eine äquivalente isotrope Antenne mit einer Eingangsleistung von P_T x G_T vorstellen.

Der Wert P_T x G_T wird als äquivalente isotrope Strahlungsleistung (EIRP) bezeichnet und ist die Leistung, die wir in eine isotrope Antenne einspeisen müssten, um die gleiche effektive Strahlungsleistung wie unsere Antenne zu erzielen. Daher hat sich die verfügbare Leistung pro Flächeneinheit (S) nun um den Faktor G_T erhöht.

Weitere Informationen zum Umgang mit Antennengewinn und EIRP finden Sie in diesem Artikel.

Was ist die effektive Fläche einer Antenne?

Eine Empfangsantenne hat die Aufgabe, die auf sie treffende elektromagnetische Energie in elektrische Energie umzuwandeln. Diese elektrische Energie ist die Leistung, die unserem Empfänger zur Verfügung steht.

Zur Veranschaulichung stellen Sie sich eine Lichtquelle wie eine Taschenlampe vor. Dieses Licht würde sich kegelförmig ausbreiten und die Wände und Decken beleuchten. Wenn man nun ein Blatt Papier vor sich hält, wird es von der Taschenlampe beleuchtet. Wenn ein größeres Blatt Papier verwendet wird, fällt aufgrund der größeren Fläche mehr Licht darauf.

Damit eine Antenne die einfallende Strahlung in Leistung umwandeln kann, muss sie sie durch eine imaginäre Fläche oder Öffnung sammeln, ähnlich wie das Papier das Licht der Taschenlampe sammelt. Diese theoretische Fläche wird als effektive Fläche (A_e) bezeichnet.

Wenn die verfügbare Leistung an den Antennenanschlüssen (P_o) anliegt, können wir diese mit der Ausgangsleistung einer isotropen Antenne (P_o(iso)) unter den gleichen Empfangsbedingungen vergleichen. Dieses Verhältnis ist der Gewinn der Empfangsantenne (G_R), wobei eine isotrope Antenne als Referenz dient. Angenommen, die gesamte einfallende Strahlung wird in Ausgangsleistung umgewandelt, dann:

$$G_R = \frac{P_o}{P_{o(iso)}}=\frac{SA_e}{SA_{e(iso)}}=\frac{A_e}{A_{e(iso)}}$$

Warum also vergleichen wir unsere Fläche mit einer isotropen Fläche? Das liegt daran, dass die effektive Fläche einer isotropen Fläche gut definiert ist. Der Beweis ist mathematisch komplex und wird hier nicht erörtert, sondern wird folgendermaßen beschrieben:

$$A_{e(iso)}=\frac{\lambda^2}{4 \pi}$$

Herleitung der Friis-Gleichung

Die Ausgangsleistung (Po) ergibt sich aus der effektiven Fläche (A_e) multipliziert mit der vom Sender ausgehenden Leistungsdichte (S).

$$P_o=A_eS = A_e\frac{P_TG_T}{4\pi d^2}$$

Das bedeutet, dass unsere Ausgangsleistung (Po) in Bezug auf den Antennengewinn (G_R) des Empfängers ist:

$$P_o = A_{e(iso)}G_R\frac{P_TG_T}{4\pi d^2}$$

Wenn wir die effektive Fläche für einen isotropen Strahler kennen und diese in unsere Gleichung einsetzen, erhalten wir unseren Wellenlängenterm:

$$P_o = \frac{P_TG_TG_R\lambda^2}{(4\pi d)^2}$$

Diese Gleichung berücksichtigt die Sendeleistung, die Entfernung, die Frequenz, den Sende- und den Empfangsantennengewinn und ist als Friis-Gleichung bekannt, benannt nach dem Ingenieur (H.T.Friis). Es sollte klar sein, dass die Frequenzabhängigkeit nur deshalb auftritt, weil die Gleichung die effektive Fläche berücksichtigt (die von der Wellenlänge abhängt). Sie steht also in keinem Zusammenhang mit der abgestrahlten Leistung.

Ausbreitungsverlust

Wenn wir die obige Gleichung umstellen, indem wir den Ausbreitungsverlust nur in Bezug auf die Entfernung ausdrücken und den Einfluss des Antennengewinns ignorieren (indem wir den Gewinn auf 1 oder 0 dBi festlegen), wird der Unterschied zwischen Sende- und Empfangsleistung wie folgt berechnet:

$$Loss = \frac{P_T}{P_o} = \frac{(4\pi d)^2}{\lambda^2}$$

$$Loss (dB) = 20\log {\frac{4\pi d}{\lambda}}$$

Wir können erkennen, dass der Lambda-Term die Umwandlung von elektromagnetischer Energie in elektrische Energie an der Empfangsantenne betrifft und nichts mit der Ausbreitung der elektromagnetischen Welle selbst zu tun hat.

Vergrößerung der effektiven Fläche

Bei einer Antenne, die auf einer festen Frequenz empfängt, vergrößert eine Erhöhung der Richtwirkung und des Gewinns die effektive Fläche der Antenne.

Dies mag widersinnig erscheinen, da eine stärker gerichtete Antenne einen engeren Empfangswinkel bedeutet. Aber selbst wenn der periphere Empfangsbereich kleiner wird, vergrößert die Richtwirkung die effektive Fläche um einen Betrag, der dem Antennengewinn (G_R) entspricht..

Da sich die effektive Fläche verringert, wenn man von größeren zu kleineren Wellenlängen übergeht (was höhere Frequenzen gegenüber niedrigeren Frequenzen benachteiligt), muss man die Effektivität bei höheren Frequenzen verbessern, indem man Antennen mit hohem Gewinn verwendet, z. B. eine Parabolantenne (was bei hohen Frequenzen machbar ist). Das Ergebnis ist eine Punkt-zu-Punkt-Kommunikation, wie man sie von Satelliten kennt.

Fazit

Es sollte hoffentlich klar sein, dass sowohl hohe als auch niedrige Frequenzen im freien Raum die gleiche Entfernung zurücklegen. Das Problem besteht darin, dass wir so sehr an die Verwendung von Funkgeräten auf der Erde gewöhnt sind, dass wir automatisch Erwartungen an hohe und niedrige Frequenzen stellen.

Ausbreitung versus Kommunikationsreichweite

Im Freiraum unterliegt jede Wellenausbreitung (unabhängig von der Frequenz) über die Entfernung dem gleichen Verlust. Der Weltraum ist die größte Annäherung an den Freiraum, so dass wir eine größere Kommunikationsreichweite erwarten würden. Die erzielbare Kommunikationsreichweite hängt jedoch nicht nur von der Ausbreitung ab, sondern auch von der Optimierung der Modulationsverfahren, der Antenneneigenschaften, der Empfindlichkeit usw.

Die Friis-Formel: Verbindungsbudget und Dezibel

Die Formel für das Verbindungsbudget ist an die Friis-Gleichung angelehnt. Das Verbindungsbudget umfasst jedoch auch andere Verluste und Gewinne im System (z. B. Kabelverluste und Verstärkergewinne). Weitere Informationen zu Verbindungsbudgets finden Sie im Artikel “ “Verbindungsbudget”.

Typische Verbindungsbudget-Berechnungen werden in Dezibel-Einheiten (dB) durchgeführt. Die Friis-Formel wird normalerweise in verallgemeinerter Form geschrieben und verwendet keine Dezibel-Einheiten. Die Einbeziehung der Friis-Formel bedeutet, dass die Eingabeparameter (z. B. Antennengewinn in dBi) in dB-Einheiten ausgedrückt werden können.