Einführung in das Smith-Diagramm – Teil 1

Einführung

Das Smith-Diagramm ist ein nützliches grafisches Werkzeug für den HF-Entwicklungsingenieur, der unter anderem Impedanzen analysieren oder Anpassungsschaltungen entwerfen muss. Anstatt viele mühsame Berechnungen manuell durchzuführen, lassen sich die Ergebnisse ganz einfach in einem solchen Diagramm darstellen, was das  Leben des HF-Entwicklers erheblich erleichtert. Obwohl sie normalerweise von Hand aufgezeichnet werden, können einige HF-Messgeräte einen Schritt weiter gehen und ein Smith-Diagramm elektronisch anzeigen. Unten sehen Sie ein Beispiel für einen tragbaren Vektor-Netzwerkanalysator (VNA) mit einer Prüflast von 50 Ohm, der zur Kalibrierung verwendet wird, und einen Screenshot eines Smith-Diagramms von einem professionellen VNA.

Die Historie

Das Smith-Diagramm wurde von Philip Smith, einem Ingenieur der Bell Laboratories, in den 1930er Jahren entwickelt, um die komplexen Berechnungen im Zusammenhang mit der HF-Entwicklung zu vermeiden und schneller zu Lösungen zu gelangen. Seine Lösung war das Smith-Diagramm, das immer noch vielfach eingesetzt wird.

Herleitung

Bevor wir das Smith-Diagramm erläutern, müssen wir zunächst die Schaltungsimpedanz verstehen.

Impedanz

Im vorigen Artikel “Impedanz und Stehwellenverhältnis” haben wir die Impedanz im Zusammenhang mit Antennen behandelt. In diesem Artikel wird erklärt, dass die Impedanz Z den Blindwiderstand X und den Widerstand R enthält, die durch die folgende Formel beschrieben werden:

$$Z = R + jX$$

Die Einheit der Impedanz, des Widerstands und des Blindwiderstands ist in Ohm (Ω), und der Blindwiderstand jX mit dem komplexen Operator zeigt an, dass der Blindwiderstand in einem orthogonalen Verhältnis zum Widerstandswert steht, wie Sie später sehen werden. Wäre der Blindwiderstand X gleich Null (zum Beispiel bei einem einfachen Widerstand), wäre die Impedanz ein reiner Widerstand.

Reale Antennen enthalten sowohl einen Widerstand (oft als Strahlungswiderstand bezeichnet) als auch einen gewissen Blindwiderstand. Bei Antennen ist der Blindwiderstand in der Regel unerwünscht, da er nicht zur Strahlung beiträgt.

Berechnung des Betrags des Blindwiderstandes

Die Werte für die Reaktanz hängen von der Signalfrequenz in Hertz (Hz) und den Induktivitäts-/Kapazitäts-Werten, L und C, in Henry bzw. Farad ab.

Induktiver Blindwiderstand geschrieben als X_L

$$X_{L} = 2\pi f L$$

Kapazitiver Blindwiderstand geschrieben als X_C

$$X_{C} = \frac{1}{2\pi f C}$$

Die Einheit des Blindwiderstands ist Ohm (Ω), und hier werden nur die Beträge angegeben. Wir werden gleich sehen, dass der Blindwiderstand negativ oder positiv sein kann, wenn er mit dem Operator j ausgedrückt wird.

Die komplexe Ebene

Wenn der Widerstand R und der Blindwiderstand X bekannt sind, bilden sie einen Punkt auf einer zweidimensionalen Ebene (einer so genannten komplexen Ebene) ab. Das “j” zeigt an, dass der Blindwiderstand eine orthogonale Beziehung zum Widerstand hat und positiv oder negativ sein kann, was bedeutet, dass die Größe der Impedanz Z eine Linie ist, die vom Mittelpunkt zum gezeichneten Wert verläuft. Wir können dies für die 3 unten gezeigten Beispielschaltungen anwenden.

Aus dem Diagramm geht hervor, dass:

1. Wenn der Schaltkreis einen reinen Widerstand hat (null Blindwiderstand), liegt Z auf der horizontalen Achse.
2. Die Induktivitäten L erzeugen einen positiven Blindwiderstand und verschieben Z nach oben.
3. Die Kondensatoren C erzeugen einen negativen Blindwiderstand und verschieben Z nach unten.

Reihenschaltung von Widerständen und Blindwiderständen

Wenn Widerstände, Induktivitäten und Kondensatoren in Reihe geschaltet sind, können die Widerstände R und die Blindwiderstände X addiert werden:

Das Smith-Diagramm

Umwandlung der komplexen Ebene in ein Smith-Diagramm

Für jemanden, der mit dem Smith-Diagramm nicht vertraut ist, mag es ungewöhnlich und kompliziert erscheinen. Sein Ursprung ist jedoch einfach zu erklären, wie wir sehen werden.

Betrachten Sie das vorherige Diagramm und stellen Sie sich vor, Sie halten die Enden der Blindwiderstandsachse fest und biegen sie zu einem Kreis, so dass sie sich wie gezeigt mit der Widerstandsachse schneiden:

Dann werden die vertikalen Widerstandslinien zu Kreisen mit konstantem Widerstand und die horizontalen Blindwiderstandslinien zu Linien mit konstantem Blindwiderstand. Anders ausgedrückt: Jeder Punkt auf einem Widerstandskreis hat den gleichen Widerstand und jeder Punkt auf einem Blindwiderstandskreis hat den gleichen Blindwiderstand. Der Schnittpunkt der Kreise und Linien stellt die Impedanz dar und kann auf dem Diagramm abgelesen werden.

Normierung

In der Praxis kann ein HF-Ingenieur auf sehr kleine oder sehr große Werte von Widerständen und Blindwiderständen stoßen. Es wäre nicht praktikabel, sie alle in ein und dasselbe Diagramm aufzunehmen.

Um dieses Problem zu lösen, verwenden Ingenieure bei der Darstellung von Werten im Diagramm ein Verfahren, das als ” Normierung ” bezeichnet wird. Es wird ein Referenzwert (in der Regel die charakteristische Impedanz Zo des Systems) gewählt und unsere Widerstands- und Blindwiderstandswerte werden durch diesen Referenzwert geteilt, um die normierte Impedanz Z’ zu erhalten. Wenn wir annehmen, dass Zo für die HF-Kommunikation 50 Ohm beträgt, ergibt sich:

$$Z’ = \frac{R+jX}{50} = \frac{R}{50}+j\frac{X}{50}$$

Wird die normalisierte Skala des Smith-Diagramms verwendet, hat der Mittelpunkt den Wert 1 (in diesem Fall 50 Ohm), während die Endpunkte einen Kurzschluss und einen Leerlauf darstellen.

Beispiele für Impedanzdiagramme

Nachfolgend können wir einige Impedanz-Beispiele darstellen. Der Einfachheit halber stellen wir unsere Komponenten mit ihren Widerstands- und Blindwiderstandswerten dar, da das Smith-Diagramm nicht direkt mit Bauteilwerten arbeiten kann. Dies stellt kein Problem dar, da die Umrechnung in Bauteilwerte zu einem späteren Zeitpunkt erfolgen kann.

Sowohl die tatsächliche Impedanz Z als auch die normierte Impedanz Z’ sind unten dargestellt:

Der Ingenieur kann die Impedanz durch Hinzufügen oder Entfernen von Bauteilen an jede beliebige Position im Diagramm verschieben. Das Ziel ist, dass jede Anpassung den Punkt verschiebt, bis er die gewünschte Position im Smith-Diagramm erreicht. Im folgenden Beispiel wird eine einfache Impedanztransformation mit Hilfe des Smith-Diagramms betrachtet.

Beispiel für Impedanzanpassung

Nehmen wir an, dass eine Last Z_Load eine Impedanz in Ohm hat und dass diese Last an einen Signalgenerator mit 400 MHz angeschlossen ist. Zum Beispiel:

$$Z_{Load} = 50 – j40$$

Der Widerstandsteil beträgt 50 Ohm, enthält aber auch einen Blindwiderstand von -j40 Ohm. Nehmen wir an, dass wir dem Generator eine rein ohmsche 50-Ohm-Last zuführen wollen (dargestellt durch Zin). Dann müssen wir ein Anpassungsnetzwerk zwischen dem Generator und der Last einfügen.

Da der Blindwiderstand der Last negativ ist, bedeutet dies, dass sie eine gewisse Kapazität hat, die wir mit einer in Reihe geschalteten Induktivität ausgleichen müssen. Wie können wir das Smith-Diagramm verwenden, um den Wert der benötigten Induktivität zu ermitteln?

Zunächst müssen wir auf den Wert von Z_Load normieren, damit wir ihn in unserem Diagramm darstellen können. Beachten Sie, dass das Apostroph (‘) den normierten Wert kennzeichnet.

$$Z_{Load}’ = \frac{50}{50}-j\frac{40}{50} = 1 – j0.8$$

Aufgrund der Kapazität liegt der Punkt unterhalb der Widerstandsachse. Zur Anpassung sollte der Punkt in die Mitte verschoben werden, was ihn in eine Last mit einem reinen 50-Ohm-Widerstand verwandeln würde. Um den Punkt in die Mitte zu verschieben, stellen wir uns vor, dass eine gleich große positive Reaktanz (jX’L = +j0,8) eingesetzt wird, was die Verwendung einer Induktivität erforderlich macht.

Wir können also X’L = 0,8 entnormieren, um den Blindwiderstand für unsere Induktivität zu erhalten.

$$X_{L} = X_{L}’ \times 50 = 0.8\times50$$

$$X_{L} = 40 Ω$$

Wandeln Sie dies in den Induktivitätswert in H um, indem Sie die Formel im oberen Teil dieser Seite verwenden.

$$L = \frac{X_{L}}{2 \pi f}$$

$$L = \frac{40}{2 \pi \times 400,000,000}$$

$$L  \approx 16 \times 10^{-9}$$

$$L \approx 16nH$$

Die Berechnung könnte auch ohne das Smith-Diagramm durchgeführt werden, da wir daraus ableiten würden, dass der benötigte induktive Blindwiderstand gleich dem Blindwiderstand des Kondensators ist, den wir kompensieren wollen. Bei komplexeren Schaltungen würden die Berechnungen jedoch aufwändiger werden und es wäre besser, das Smith-Diagramm zu verwenden.

Fazit

Wir schließen nun den ersten Teil dieses Artikels ab.

Bisher haben wir uns auf das Impedanz-Smith-Diagramm (das Standard-Smith-Diagramm) konzentriert. Im zweiten Teil (folgt in Kürze) werden wir ein weiteres Smith-Diagramm vorstellen, das sogenannte Admittanz-Smith-Diagramm, das parallel geschaltete Komponenten umfasst. In Kombination mit dem Standard-Smith-Diagramm können beliebige Schaltungen mit Serien- und Parallelkomponenten analysiert werden, wodurch das Smith-Diagramm zu einem noch leistungsfähigeren Tool wird.