Einführung in das Smith-Diagramm – Teil 2
Einführung
Im Artikel “Einführung in das Smith-Diagramm – Teil 1“ haben wir die Version des Smith-Diagramms behandelt, die die Gesamtimpedanz anzeigt, wenn die Bauteile in Reihe geschaltet sind.
Da die Widerstände R und die Blindwiderstände X der Bauteile einfach addiert werden können, um die Gesamtimpedanz Z zu ermitteln, wenn sie in Reihe geschaltet sind, wird diese Version des Smith-Diagramms angehenden HF-Ingenieuren und Studenten häufig als erste Übung vorgestellt. Wir werden bald feststellen, dass wir bei parallel zueinander geschalteten Bauteilen nicht einfach die Widerstände und Blindwiderstände der Bauteile addieren können, um die Gesamtimpedanz zu erhalten.
In Reihe geschaltet können Widerstände R und Blindwiderstände X addiert werden. Aber was ist mit der parallelen Konfiguration?
Admittanz (Y)
Es gibt eine Methode zur Analyse parallel geschalteter Bauteile. Zuerst nehmen wir den Kehrwert der Impedanz wie folgt:
$$Z = R + jX $$
$$Y = \frac{1}{Z} = \frac{1}{R + jX} = G + jB $$
Wir sehen, dass die Gleichung einen neuen Ausdruck ergibt, bei dem der Widerstand R durch den Leitwert G und der Blindwiderstand X durch den Suszeptanzwert B ersetzt wird, die beide eine neue Größe namens Admittanz Y ergeben.
Der Leitwert G, der Suszeptanzwert B und der Admittanzwert Y werden in Siemens oder “S” angegeben.
Die einzelnen Elemente, aus denen sich die Admittanz zusammensetzt, können wie folgt berechnet werden.
Berechnung des Leitwerts G
Der Leitwert ist lediglich der Kehrwert des Widerstands.
$$ G = \frac{1}{R} $$
Berechnung des Betrags der Suszeptanz B
Die Suszeptanz ist der Kehrwert des Blindwiderstands, der von der Signalfrequenz in Hertz (Hz) und den Induktivitäts-/Kapazitätswerten, L und C in Henries bzw. Farad, abhängt.
Suszeptanz der Induktiviät, ausgedrückt mit BL
$$B_{L} = \frac{1}{X_L} = \frac{1}{2\pi f L}$$
Suszeptanz der Kapazität, ausgedrückt mit BC
$$B_{C} = \frac{1}{X_C}=2\pi f C$$
Wie der Blindwiderstand kann auch die Suszeptanz negativ oder positiv sein, wenn sie mit dem Zeichen j ausgedrückt wird.
Analyse paralleler Schaltungen
Warum also verwenden wir Admittanzen, Leitwerte und Suszeptanzen?
Wenn man die Bauteile als die oben genannten Größen ausdrückt, wenn sie parallel geschaltet sind, kann man die Größen addieren, ähnlich wie wenn die Bauteile in Reihe geschaltet wären. Beachten Sie, dass die Suszeptanz das Vorzeichen der Blindwiderstände von Induktivität und Kondensator umkehrt.
Addition von Leitwert und Suszeptanz
Das Admittanz-Smith-Diagramm (Y-Diagramm)
Normierung
Im vorigen Artikel haben wir die Normierung als notwendigen ersten Schritt bei der Darstellung eines Werts erwähnt. Da unsere Messungen sehr kleine oder sehr große Werte ergeben können, ist die Normierung erforderlich, um unsere Daten in das Diagramm einzupassen. Für die Impedanz Z dividieren wir durch eine bekannte Referenz. Üblicherweise wird die charakteristische Impedanz Zo verwendet.
$$Z’ = \frac{Z}{Zo}=\frac{R+jX}{Zo}$$
Für die Admittanz gilt das gleiche Verfahren. Allerdings dividieren wir durch die charakteristische Admittanz Yo, die der Kehrwert von Zo ist, das bedeutet 1 / Zo.
$$Y’ = \frac{Y}{Yo}=\frac{G+jB}{Yo} = (G+jB)Zo$$
Wenn Zo 50 Ohm war, würde unser voriges Beispiel Y = 0,024 – j0,02 nach der Normierung Y’ = 1,2 – j1,0 ergeben.
Verwendung des Admittanz-Smith-Diagramms (Y Diagramm)
Das Admittanz-Smith-Diagramm (Y-Diagramm) ist wie das Impedanz-Smith-Diagramm (Z-Diagramm) mit Kreisen und Linien aufgebaut. Statt des Bauteilwiderstands R und des Blindwiderstands X stellt das Y-Diagramm den Leitwert G und die Suszeptanz B dar.
In unserem Beispiel ist unten Y’ = 1,2 – j1,0 eingezeichnet. Wenn wir diesen Punkt in das Z-Diagramm spiegeln, können wir die entsprechende Impedanz ermitteln, die in diesem Beispiel Z’ = 0,5 + j0,4 ergibt.
Entnormiert man dies, ergibt sich Z = 25 + j20.
Und wir können dies tun, ohne die Berechnung manuell durchführen zu müssen!
Bei der Verwendung des Y-Diagramms ist also zu beachten:
- Wenn der Stromkreis einen reinen Widerstand hat (keine Suszeptanz), liegt Y auf der horizontalen Achse.
- Die Induktivitäten L erzeugen eine negative Suszeptanz und verschieben Y nach oben.
- Die Kondensatoren C bewirken eine positive Suszeptanz und verschieben Y nach unten.
Das kombinierte Smith-Diagramm (ZY-Diagramm)
Wir haben nun 2 Diagramme, die Widerstands- und Admittanz-Werte graphisch darstellen können. Da die Position im Diagramm für beide gleich ist, ist es möglich, beide Diagramme übereinander zu legen und ein ZY-Diagramm zu erzeugen. Auf diese Weise zeigt ein einziger Punkt sowohl Z als auch Y an, so dass wir leicht zwischen den beiden wechseln können.
Beispiel
Wir werden sehen, wie wir das ZY-Diagramm verwenden können, um eine Schaltung mit einer Mischung aus seriellen und parallelen Bauteilen zu analysieren. Nehmen wir an, wir wollen die Gesamtimpedanz ZGesamt für eine Schaltungsfrequenz von 400 MHz ermitteln.
ZTotal ermitteln
Zuerst stellen wir fest, welche Bauteile in Serie und welche parallel geschaltet sind. Daraus ergibt sich, ob wir den Widerstand/den Blindwiderstand oder den Leitwert/die Suszeptanz verwenden müssen. Wenn wir von den Endkomponenten ausgehen und uns zurückarbeiten, können wir logisch wie folgt vorgehen:
1. Berechnen Sie zunächst die Gesamtimpedanz des Serienwiderstands und der Spule. Wir können Widerstand und Reaktanz verwenden, da sie in Reihe geschaltet sind.
2. Dann fügen Sie den Kondensator als Parallelschaltung hinzu, indem Sie die Suszeptanz des Kondensators verwenden.
3. Anschließend wird der letzte Widerstand in Reihe geschaltet.
Die oben genannten Punkte können in den folgenden Diagrammen betrachtet werden.
Ablesen des VSWR aus dem Diagramm
Neben der Schaltungsanalyse bietet das Smith-Diagramm noch weitere nützliche Messungen – eine davon ist das VSWR.
Das VSWR (siehe Artikel „Impedanz und Stehwellenverhältnis“) gibt an, wieviel von der Senderausgangsleistung von der Antenne absorbiert wird. Die nicht von der Antenne absorbierte Leistung wird reflektiert und verbindet sich mit den Vorwärtswellen zu stehenden Wellen im Kabel.
Betrachten wir einen Sender, der an ein Kabel mit der charakteristischen Impedanz Zo = 50 Ohm angeschlossen ist. Eine Last (z. B. eine Antenne) mit einer Impedanz von Z = 50 + j0 hat bei Anschluss an den Sender ein VSWR von 1.
Wenn die Lastimpedanz geändert wird, so dass sie nicht mehr 50 + j0 beträgt, können wir einen Kreis in der Mitte des Diagramms zeichnen, der diese Impedanz schneidet. Das VSWR ist für alle Impedanzen, die auf diesem Kreis liegen, konstant und proportional zum Radius L dieses Kreises. Um das VSWR von L zu erhalten, enthält das Diagramm eine VSWR-Skala am unteren Rand, an der der Benutzer das VSWR ablesen kann.
Kreis mit konstantem VSWR vom Mittelpunkt aus. Jede Lastimpedanz auf diesem Kreis hat das gleiche VSWR von 2,2.
Es wäre daher die Aufgabe des Ingenieurs, mit Hilfe des Diagramms eine Art Anpassungsnetzwerk zu entwerfen, so dass die endgültige Impedanz so nahe wie möglich an 50 + j0 herankommt.
Fazit
Wir hoffen, sowohl dieser Artikel als auch Teil 1 haben Ihnen Aufschluss gegeben über die Vielseitigkeit des Smith-Diagramms. Es gibt viele andere nützliche Messungen, die von diesem Diagramm abgeleitet werden können. Dies würde jedoch den Rahmen der beiden Artikel sprengen.
Der Schwerpunkt hier liegt jedoch auf der unmittelbaren Verwendung eines solchen Diagramms bei der Betrachtung der Leistung von HF-Systemen und nicht auf der detaillierten Beschreibung seines Ursprungs (was das Thema für viele Nicht-HF-Ingenieure unzugänglich machen kann).